Bổ túc tính chất của số hữu tỉ trong Q : tương quan < > ≤ ≥
(-4)/(-3) = 4/3 > 0
4/(-3) = (-4)/3 viết là -(4/3) hay -4/3 < 0
-4/3 + 4/3 = 0
a,b ∈ Z
a = 0 và b ≠ 0 ==> x= a/b = 0
x = a/b < 0 <==> a.b < 0
x = a/b > 0 <==> a.b > 0
thí dụ
3/4 < 4/3 <==> 9/12 < 16/12 <==> 9 < 16
-4/3 < -3/4 <==> -16/12 < -9/12 <==> -16 < -9
Trong Q ta định nghĩa một tương quan ≤ :
x ≤ y <==> ∃z ∈ Q+ (> 0 hay
= 0 ) cho (x + z = y) khi đó ta viết y ≥ x
Tính chất :
x ≤ x
x ≤ y và y ≤ x ==> x =
y
x ≤ y và y ≤ z ==>
x ≤ z
Trị số tuyết đối trong Q
Trị số tuyệt đối của p/q viết là | p/q | bằng 0 nếu p = 0, bằng p/q nếu p/q > 0 và bằng -p/q nếu p/q < 0
thí dụ | 3/4 | = 3/4 | -4/3 | = 4/3
=============================================================================
Liệt số hữu tỉ :
Ta định nghĩa một phép áp từ N - {0} vào Q như sau
n = 1 ==> u1 = 1
n = 2 ==> u2 = 1 + 2 = 3
n = 3 ==>
u3 = 1 + 2 + 3 = 6
u100 = 1 + 2 + 3 +....+ 100 = (100.101) / 2 =50.101 = 5050
u1000 = 1 + 2 + 3 +....+ 1000 = (1000.1001) / 2 = 1001000/2 = 500500
Ta đuợc một liệt số un, có giá trị "rát lớn khi n "đủ lớn", ta nói liệt số un có giới hạn là +∞ (dương vô cực)
Chính xác hơn :
un có gìới hạn là +∞ nếu cho một M bất kỳ trong Q (thường là rất lớn) ta tìm được một m trong N (thường là "đủ lớn") sao cho n > m ==> un > M
∀ M∈Q ∃m∈N / (n > m ==> un > M)
un = ∑k (k từ 1 tới n) = 1 + 2 + 3 + 4 +..... + n = n(n+1) / 2 có giới hạn là +∞
3 thí dụ khác có giới hạn là +∞
thí dụ 1 :
n = 1 ==> u1 = 2
n = 2 ==> u2 = 2 + 4 = 6
n
= 3 ==> u3 = 2 + 4 + 6 = 12
u100 = 2 + 4+ 6 +....+ 200 = (100.101)
=10100
u1000 = 2 + 4 + 3 +....+2000 = (2000.2001) = 4002000
un = 2 + 4 + 6 + +
2n = n.(n+1) --> +∞
-----------------------------------------------------------------------
thí dụ 2 :
n = 1 ==> u1 = 1
n = 2 ==> u2 = 1 + 3 = 4
n
= 3 ==> u3 = 1 + 3 + 5 = 9
u100 = 1 + 3+ 5 +....+ 199 = (100.100) =10000
u1000 = 1 + 3 + 5
+....+1999 = (1000.1000) =1000000
un = 1 + 3 + 5 + + n = n.n
--> +∞
----------------------------------------------------------
thí dụ 3 :
u1 = 1^2 = 1
u2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5
u3 = 1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 =14
un = ∑k^2 (k de 1 à n) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 +..... +n = n(n+1)(2n+1) / 6 --> +∞
------------------------------------------------------------------------------------------------
un có gìới hạn là -∞ nếu cho một M bất kỳ trong Q (thường là rất nhỏ và < 0) ta tìm được một m trong N (thường là "đủ lớn") sao cho (n > m ==> un < M)
∀ M∈Q ∃m∈N / (n > m ==> un < M)
------------------------------------------------------------------------------------------------
Không phải liệt số nào cũng có giới hạn là +∞
Thí dụ :
n = 1 ==> u1 = (1 + 100) / 1 = 101
n = 2 ==> u2 = (2 + 100) / 2 = 51
n = 3 ==> u3 = (3 + 100) / 3 = 103/3
un = (n + 100) / n = 1 + 100 / n
u100 = (100 + 100) / 100 =
2
u1000 = (1000 + 100) / 1000 = 1100 / 1000 = 1 + 1/10
Với n "đủ lớn", un sẽ "rất gần" với 1 , ta nói un có giới hạn là 1.
Chính xác
hơn un có gìới hạn là 1 nếu cho một ε (epsilon) dương bất kỳ trong Q (thường là rất nhỏ) ta tìm được một M
trong N (thướng là "đủ lớn" sao cho n > M ==> |un - 1|< ε
∀ ε∈Q ∃M∈N / (n > m ==> |un - 1|< ε)
------------------------------------------------------------------------------
Tính chất : nếu một liệt số un có một giới hạn hữu hạn trong Q (không phải +∞ hay -∞) , với n đủ lớn, ta có |un+1 - un| rất nhỏ.
(un --> g ∈Q) ==> ∀ ε∈Q ∃M∈N / (n > m ==>|un+1 - un| < ε
Liệt số có tính chất này được gọi là là liệt số Cauchy (1789 - 1857)
Mọi liệt số Cauchy bị chặn bởi m và M ∈ Q (∀n m < un <M) đều có một giới hạn g hữu hạn trong khoảng (m,M) g∈(m,M) nhưng giới hạn g đó không nhất thiết ∈Q
Không phải liệt số Cauchy nào cũng có giới hạn trong Q
Thí dụ 1 :
x0 = 3/2,
x1 = 3/4+ 2/3 = 17/12
x2 = 17/24 + 12/17,
xn+1 = xn/2 +1/xn có giới hạn là √ 2 (căn bậc 2 của 2) ∉ Q
g Q
Thí dụ 2 :
un = (1 + 1 / n ) ^n --> e (có Log e = 1) ; e ∉ Q
un = 4/1 - 4/3 + 4/5 - 4/7 + 4/9- 4/11 + 4/13 - 4/15....... --> π ∉ Q
un = 3 + 4/2.3.4 + 4/4.5.6 + 4/6.7.8 + ......+ 4/n(n+1).(n+2) --> π ∉ Q
Ta gọi √ 2 √ 3 √ 5.... e π là những số vô tỉ.
===================================================
Kỳ tới : Từ những liệt số un ∈ Q ta định nghĩa tập hợp R những số thực gồm số hữu tỉ và vô tỉ
